动态规划章节理论基础：

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1143.最长公共子序列

题目链接：https://leetcode.cn/problems/longest-common-subsequence/description/

思路：

本题和动态规划：718. 最长重复子数组区别在于这里不要求是连续的了，但要有相对顺序，即：“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。

动规五部曲：
（1）确定dp数组以及下标含义
dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]

（2）确定递归公式
主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。
即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

（3）dp数组初始化
先看看dp[i][0]应该是多少呢？
test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;
同理dp[0][j]也是0。
其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。

（4）确定遍历顺序
从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，如图：

那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。

（5）举例推导dp数组
以输入：text1 = “abcde”, text2 = “ace” 为例，dp状态如图：

最后红框dp[text1.size()][text2.size()]为最终结果

代码：

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int m = text1.length();
        int n = text2.length();
        // dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]
        int[][] dp = new int[m + 1][n + 1];
        //int result = 0;
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if(text1.charAt(i-1) == text2.charAt(j-1)){
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1; 
                }else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                }
                //result = Math.max(dp[i][j],result);
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

1035.不相交的线

题目链接：https://leetcode.cn/problems/uncrossed-lines/description/

思路：

直线不能相交，这就是说明在字符串A中 找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。

拿示例一A = [1,4,2], B = [1,2,4]为例，相交情况如图：

其实也就是说A和B的最长公共子序列是[1,4]，长度为2。 这个公共子序列指的是相对顺序不变（即数字4在字符串A中数字1的后面，那么数字4也应该在字符串B数字1的后面）

这么分析完之后，大家可以发现：本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！
那么本题就和我们刚刚讲过的这道题目动态规划：1143.最长公共子序列就是一样一样的了。

一样到什么程度呢？ 把字符串名字改一下，其他代码都不用改，直接copy过来就行了。

代码：

class Solution {
    public int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] dp = new int[n];
        // if (n <= 1)
        // return 1;
        int result = 1;
        Arrays.fill(dp, 1);
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (nums[i] > nums[i - 1])
                dp[i] = dp[i - 1] + 1;
            if (dp[i] > result)
                result = dp[i];
        }
        return result;
    }
}

53. 最大子序和

题目链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-length-of-repeated-subarray/description/

思路：

这道题之前我们在讲解贪心专题的时候用贪心算法解决过一次，贪心算法：最大子序和 。
这次我们用动态规划的思路再来分析一次。

动规五部曲：
（1）确定dp数组以及下标含义
dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i]。

（2）确定递归公式
dp[i]只有两个方向可以推出来：
dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和
nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和
一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);

（3）dp数组初始化
从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。
dp[0]应该是多少呢?
根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。

（4）确定遍历顺序
递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。

（5）举例推导dp数组
以示例一为例，输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，对应的dp状态如下：

注意最后的结果可不是dp[nums.size() - 1]！ ，而是dp[6]。

在回顾一下dp[i]的定义：包括下标i之前的最大连续子序列和为dp[i]。

那么我们要找最大的连续子序列，就应该找每一个i为终点的连续最大子序列。

所以在递推公式的时候，可以直接选出最大的dp[i]。

代码：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = nums[0];
        int result = dp[0];
        for(int i=1;i<n;i++){
            // 有两种策略，一种是从当前数字开始算，一种是从前面取
            dp[i] = Math.max(nums[i],dp[i-1]+nums[i]);
            result = Math.max(result,dp[i]);
        } 
        // 最后的结果不是dp[n-1]，需要注意
        return result;
    }
}