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题目思路

标题就不难知道，这是一道关于容斥原理的题目

只需要简单一想就不难发现，这道题很可能会有很多重复的情况，就比如说我原来想的一个思路，先找出 r 个球来铺满第一层，然后再排列剩下的小球，这就会有很多重复的情况，比如说第一层的去了第二层，但是只是上下顺序变了但是总体顺序没变，这就造成了重复的情况

那么我们不妨反过来想

n 个小球放到 r 个盒子里一共有多少种放法呢？

一想就能想到
$$方案数=r^n$$
因为每个小球都有r个盒子可以放，所有就是n个r相乘

那么至少一个盒子是空着的呢？

结果也是显而易见的
$$方案数=C_r^1\ast (r-1{)}^n$$
一共有r个盒子，并且互不相同，所以哪个是空的不确定，由于是至少一个盒子是空的，所以就是每个小球有r-1个盒子可以放，也就是n个r-1相乘

这个时候你应该就能发现后面的规律了

至少o个盒子是空着的情况就是
$$方案数=C_r^o\ast (r-o{)}^n$$
但是此时的你可能还不是很理解要干嘛

不是这样还是有很多重复的情况吗？

这里就涉及到了一个重要的组合数学原理，容斥原理

定义：若A和B是具有性质P1和性质P2的有限集合

那么 $A\cup B=A+B-A\cap B$

同理可得 $A ∪ B ∪ C = A + B + C - A ∩ B - A ∩ C - B ∩ C + A ∩ B ∩ C $

通俗易懂的来说接下来的步骤就是用总情况， 减去 至少有一个的时候， 加上 至少有2个的时候 。。。。。。

再解释一下就是减去所有至少有一个的情况的时候，就多减去了很多至少有2个的时候，加上的时候又加上了很多至少有三个的情况，以此类推

那么剩下的就是组合数学的基础部分，快速幂就不展开了，组合数由于范围非常小，如果又不理解的朋友可以转去看我的这篇文章

(组合数的计算)牛客周赛 Round 35 小红的子序列权值和 (easy / hard)

总代码

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N = 15;
int n,r;
int C[N][N];
int init()
{
	for(int i=0;i<N;i++){
		for(int j=0;j<=i;j++){
			if(!j) C[j][i] = 1;
			else C[j][i] = C[j-1][i-1] + C[j][i-1];
		}
	}
}
int qmi(int a,int b)
{
	int res = 1;
	while (b){
		if(b & 1) res *= a;
		a *= a;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}
signed main()
{
	init();
	cin >> n >> r;
	int o = qmi(r,n);
	for(int i=1;i<r;i++){
		if(i & 1){
			o -= C[i][r] * qmi(r-i,n);
		}else{
			o += C[i][r] * qmi(r-i,n);
		}
	}
	cout << o << endl;
}